Бервено Е.В. Калинкин А.А. Лаевский Ю.М.
Двухскоростная модель фильтрации двухфазной жидкости в трещиновато-пористых средах
Докладчик: Бервено Е.В.
Ранее в рамках данной тематики авторами статей [1,2] исследовались модели фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости в однородной среде с различным расположением скважин. В последующих исследованиях акцент ставился на изучение того, как неоднородности в почве могут влиять на процесс фильтрации. Эксперименты, в которых неоднородные блоки в нефтеносном пласте задавались при помощи параметров пористости и проницаемости приведены в статье [3]. Результаты расчетов продемонстрировали, что время прорыва воды в добывающие скважины значительно изменяется в зависимости от местоположения неоднородностей. В результате, стала очевидной неточность классической теории фильтрации в пористых средах при применении её для описания коллекторов некоторых структур трещиновато-пористого типа.
В данной работе рассматривается двухфазное течение, соответствующее вытеснению первоначально заполнявшей поры пласта нефти, подаваемой в коллектор под давлением водой в трещиновато-пористой среде. Характерная особенность такого вида сред состоит в том, что движение жидкости в ней происходит в основном по трещинам, в то время как объем трещин мал и основные запасы жидкости заключаются в пористых блоках. Основой построенной модели послужила монография Баренблатта [5].
В новой модели каждой точке пространства соответствуют две системы уравнений. Одна система уравнений описывает процесс фильтрации для пор, вторая - процесс движения жидкости в трещинах. А поскольку вместо одного давления жидкости в каждой точке среды два: давление в трещинах и давление в порах блоков, то эти системы уравнений связаны аналогом закона теплообмена ньютоновской жидкости.
Для получения дискретной модели используется метод конечных элементов. Переход от дифференциальной постановки задачи к обобщенной смешанной постановке для задачи Неймана, как и в работах [1, 2], происходит в соответствии с [6]. Особенность такого моделирования заключается в том, что способ задания скважин не требует сгущения сетки в прискважинных зонах и соразмерности диаметра скважин шагу сетки.
Для решения седловой системы уравнений применяются дополнение Шура и метод сопряженных градиентов с переобуславливателем. Для решения остальных сеточных уравнений используется умножение на блочно-двухдиагональные и блочно-трехдиагональные матрицы, а так же обращение прогонкой блочно-трехдиагональныx матриц. Для аппроксимации по времени уравнения насыщенности вытесняющей фазы используется явная схема типа предиктор-корректор второго порядка аппроксимации, как и в работе [1], с одним вычислением правой части на шаге интегрирования. Данная схема, предложенная в статье [4], продемонстрировала эффективность при численных экспериментах и в работе [3].
Для построенной модели применяется разработанная в ходе предыдущих исследований методика распараллеливания трехмерной задачи с использованием MPI технологии для компьютерных систем, удовлетворяющих кластерной структуре.
Список литературы:
1. Yu. M. Laevsky, P. E. Popov, A. A. Kalinkin, Simulation of two-phase fluid filtration by mixed finite element method //Matem. Mod. 2010. Vol.~22. N~3. P.~74--90.
2. P.E. Popov, A.A. Kalinkin, The method of separation of variables in a problem with a saddle point // Russian J. Numer. Anal. Math. Model. 2008. Vol.~23. N~1. P.~97--106.
3. E.V. Berveno, Simulation of two-phase fluid filtration with nonuniform media on clusters (в печати)
4. Г. В. Демидов, Е. А. Новиков, Экономичный алгоритм интегрирования нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. //Численные методы в математической физике, 1979, Новосибирск: ВЦ СО СССР, с~69-83.
5. Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М Рыжик, Движение жидкостей и газов в природных пластах. М., Недра, 1984. 104-112, 147-149~с.
6. F. Brezi and M. Fortin, Mixed and Hybrid Finite Element Methods // New York: Springer-Verlag, 1991.
| Тезисы доклада: | abstracts_176792_ru.pdf |
К списку докладов
