Кошкина А.А.
Численное решение уравнения эллиптического типа в области сложной геометрии
Одним из методов медицинской визуализации является электро-импедансная томография (ЭИТ). В исследованиях ЭИТ в качестве зондирующего агента используется электрический ток, искомой величиной является распределение электрического сопротивления (импеданса) внутри биологического объекта. Реконструкция изоб-ражения ЭИТ требует решения прямой и обратной томографиче-ских задач. Прямая задача обычно решается аналитическими или численными методами и включает уравнение эллиптического типа с переменными коэффициентами и условия Неймана на границе.
Расчетная область покрывается треугольной сеткой. Предполагается, что область разбита на множество непересекающихся треугольников. Полученная сетка определяется как триединая совокупность треугольных элементов, их вершин и ребер. Каждое ребро или принадлежит двум смежным элементам, или лежит на границе Г расчетной области.
В работе рассматривается три способа построения разностной схемы для численного решения: неизвестные значения сеточной функции сопоставляются с центром масс треугольника; с вершина-ми треугольника (используются либо ячейки Дирихле-Вороного, либо контур, построенный вокруг узла путем проведения медиан через середины ребер треугольников). При аппроксимации диффе-ренциальной задачи используется метод конечного объема.
С помощью метода конечного объема получена устойчивая раз-ностная схема, которая имеет погрешность аппроксимации O(h) и приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Для ре-шения полученных СЛАУ использовались метод Зейделя и метод верхней релаксации. Для метода релаксации экспериментально определен оптимальный параметр релаксации.
Проводились сравнения аналитического решения и численного для двух сечений: направление сечения от токоотводящего электро-да к токоподающему и направление сечения 45о по оси Ох.
Согласно полученным результатам, можно сделать вывод, что наиболее эффективным численным методом является метод конеч-ных объемов, использующий неструктурированную треугольную сетку, построенную по принципу триангуляции Делоне, где в каче-стве конечных объемов используются ячейки Дирихле-Вороного. Для определения таблицы значений численного решения, которое является искомым вектором при решении СЛАУ, оптимальным яв-ляется метод верхней релаксации.
Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (Соглашение № 14.В37.21.0667).
Кошкина А.А. Численное решение уравнений эллиптического типа на неструктурированных сетках / Современные проблемы математики и механики: Материалы III Всероссийской молодежной научной конференции /Под ред. Филькова.– Томск: Изд-во Том. ун-та,2012 г. - С.312-316.
| Тезисы доклада: | abstracts_175085_ru.pdf |
К списку докладов
