Казакова М.Ю.
Неотражающие граничные условия для линеаризованных уравнений Грина-Нагди
В работе рассматривается задача построения неотражающих (прозрачных) граничных условий для линеаризованных уравнений Грина-Нагди. Данная модель применяется для математического описания распространения волн на свободной поверхности жидкости. Уравнения связывают уровень поднятия свободной поверхности и усредненную по глубине жидкости скорость. В то время как начальная система задана на полном пространстве, практический анализ чаще всего проводится в ограниченной области. Выбор неотражающих граничных условий, которые необходимо задать на границе этой области, очень важен для анализа, и в особенности, численного моделирования проблемы. Поскольку система не является гиперболической, и уравнения имеют дисперсионные свойства, построение подобного типа условий не является тривиальной задачей. Граничные условия не должны влиять на решение внутри области (например, не должны формироваться отраженные возмущения от границы). Иными словами, необходимо, чтобы точное решение во всем пространстве являлось продолжением решения задачи поставленной на ограниченной области с неотражающими граничными условиями. Более того, если обобщенная энергия решения во всем пространстве сохраняется, то энергия решения на ограниченной области должна убывать. Условия, удовлетворяющие все этим условиям, могут быть построены с помощью метода, представленного в [1] для уравнения Шредингера, и успешно примененного для уравнений однонаправленного распространения волн в [2], [3]. Система уравнений Грина-Нагди физически более подходящая для задачи о волнах на воде, поскольку она описывает двустороннее распространение волн. Согласно предложенному методу для построения непрерывных и дискретных граничных условий требуется обращение нелокального оператора преобразования Лапласа (для непрерывных условий), и его дискретного аналога оператора Z-преобразования (для дискретных условий). В непрерывном случае возможно явное обращение оператора. Для построение дискретных условий рассмотрено два типа дискретизации второго порядка по времени и пространству: центральная разностная схема Кранка-Никольсон на смещённой сетке (дискретные значения скорости и поднятия свободной поверхности заданы в смещённых узлах пространства) и центральная разностная схема Кранка-Никольсон на классической сетке. Первый метод допускает явное обращение нелокального оператора. При классическом задании дискретных функций в узлах сетки явное обращение невозможно, и предложена устойчивая процедура численного обращения. Показано, что решение задачи с полученными граничными условиями удовлетворяет энергетическому неравенству. Кроме того доказано, что дискретные условия совместны с непрерывными условиями и обеспечивают второй порядок аппроксимации. Предложенный метод подтвержден на численных примерах.
Литература
[1] C. Besse, M. Ehrhardt, I. Lacroix-Violet, Discrete artificial boundary conditions for the linearized Korteweg de Vries equation, Num.Meth. for PDE, V. 32, Issue 5, (2016) 1455-1484.
[2] C. Besse, Mesognon B., Noble P., Discrete Artificial Boundary Condition for the Benjamin-Bona-Mahoney equation, Preprint 2016, hal-01305360.
[3] C. Besse, P. Noble, D. Sanchez, Discrete transparent boundary conditions for the mixed KDV-BBM equation., Preprint arXiv:1609.08941
К списку докладов