Зоркальцев В.И.
Свойства и взаимосвязи методов аппроксимации
Излагаются результаты исследований свойств методов определения ближайших к нулевому вектору точек выпуклых полиэдров (множеств решения систем линейных неравенств) и линейных многообразий. К такой геометрической проблеме сводятся многие прикладные задачи или их линеаризации и другие преобразования. В том числе – задачи аппроксимации, регуляризации обратных, некорректных задач. Приводятся полезные факты симметричной двойственности задач: 1) поиска псевдорешений несовместных систем; 2) поиска ближайшего к заданному вектору решения неоднозначно разрешимой системы.
Рассматривается три вида конкретизации обсуждаемой геометрической проблемы. 1.Минимизация носителя (набора ненулевых компонент) вектора из полиэдра. 2. Поиск векторов полиэдра с Парето-минимальными абсолютными значениями компонент. 3. Минимизация на полиэдре штрафных функций от отклонений от нулевого вектора. В частности, рассматриваются свойства октаэдральных (метод наименьших модулей), евклидовых (метод наименьших квадратов), гельдеровских и чебышевских проекций нулевого вектора на полиэдр. Приводится разработанный автором алгоритм построения однозначной чебышевской проекции, не нуждающийся в условии Хаара, что существенно расширяет и облегчает применение чебышевской аппроксимации. Доказана теорема о сходимости гельдеровских проекций при стремлении к бесконечности степенного коэффициента гельдеровской нормы к введенной автором чебышевской проекции.
Доказаны теоремы о совпадении множеств евклидовых, гельдеровских и чебышевских проекций начала координат на полиэдр, образуемых в результате варьирования положительных весовых коэффициентов при компонентах векторов в евклидовых, гельдеровских, чебышевских нормах. Замыкание этого множества совпадает с множеством октаэдральных проекций и с множеством векторов полиэдра с парето-минимальными абсолютными значениями компонент. Все эти множества является ограниченным, связаными, невыпуклыми. Выпуклая оболочка замыкания совпадает с выпуклой оболочкой конечного числа векторов полиэдра с минимальным носителем. В докладе обсуждаются приложения указанных и других фактов о свойствах ближайших к началу координат точек полиэдров при различных приведенных выше способах доопределения понятия «близости».
To reports list