Tanana V.P.   Markov B.A.  

Solution of the inverse problem of the heat equation with a moving boundary on the half-line

Reporter: Tanana V.P.

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С ИЗВЕСТНОЙ ПОДВИЖНОЙ ГРАНЦЕЙ НА ПОЛУПРЯМОЙ

Танана В.П., Марков Б.А.

Южно-Уральский государственный Университет, Челябинск,

Челябинское высшее военное авиационное краснознамённое училище штурманов, Челябинск

smpx1969@mail.ru

В настоящей работе мы рассматриваем нагрев композитной среды с известной подвижной границей. Мы предполагаем, что процесс разрушения защитного слоя не сопровождается выделением тепла -- слой просто меняет свою толщину, не внося никаких иных изменений в уравнение теплопроводности. Задача состоит в том, чтобы, зная свойства материала и свойства среды, а также закон движения границы, найти температуру на внешней поверхности защитного слоя \cite{Tikhonov}.

В настоящей работе нами построено формальное решение прямой задачи на полупрямой на основе интегрального соотношения. Учитывая, что подвижная граница задаётся ломаной, то есть кусочно-линейной функцией по времени, интегральное уравнение для каждого временного промежутка линейного изменения границы оказывается линейным по времени и может быть решено как уравнение Абеля на каждом из временных фрагментов.

На основе построенного решения прямой задачи сформулирована обратная задача, решавшаяся методом регуляризации Тихонова \cite{Yagola_2014}, \cite{Kabanikhin}. Также построена оценка порядка точности для решения обратной задачи \cite{TananaSidikova2018}, так как и условие на границе, и само движение границы задаются с погрешностью $\delta$.  Полученная оценка порядка точности решения обратной задачи имеет вид: $A{\mbox{ ln}}^{-2}\delta,$ $A={\mbox const}.$

Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (государственное задание FENU-2020-0022).

{Tikhonov}
Tikhonov A.N., Glasko V.B.} К вопросу о методах определения температуры поверхности тела // ЖВМиМФ -- 1967. -- №4. -- С. 910-914. (in russian)

{Yagola_2014}
{\bf Ягола А.Г., Ван Янфей, И. Э. Степанова, В.Н. Титаренко} Обратные задачи и методы их решения //  М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. 216~с.

\bibitem{Kabanikhin}
{\bf Кабанихин С. И.} Обратные и некорректные задачи.-- Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009; Перевод: Kabanikhin S.I. Inverse and Ill-posed problems.-- Novosibirsk: Siberian Academic Press, 2009.

\bibitem{TananaSidikova2018}
{V. Tanana, A. Sidikova}
Optimal Methods for Ill-Posed Problems With Applications to Heat Conduction. De Gruyter, 2018.


To reports list