В последнее время при численном исследовании некоторых жестких задач все большее внимание привлекают явные методы [1,2]. Это связано с тем, что при применении L-устойчивых методов возникает проблема с декомпозицией матрицы Якоби. В случае большой размерности системы дифференциальных уравнений время декомпозиции данной матрицы фактически определяет общие вычислительные затраты. В то же время явные методы не нуждаются в вычислении матрицы Якоби, и если жесткость задачи не слишком велика, то они будут предпочтительнее. Отметим, что явные методы легко распараллеливаются.
Можно выделить две основные причины, которые приводят к трудностям при использовании явных методов для решения жестких задач. Первая причина связана с противоречием между точностью и устойчивостью численной схемы на участке установления. Следствием этого является раскачивание шага интегрирования, что в лучшем случае приводит к понижению эффективности алгоритма интегрирования. Этого недостатка можно избежать, например, предложенным в [2] способом контроля устойчивости. Вторая причина ограниченного применения явных методов связана с тем, что области устойчивости известных численных схем слишком малы.
Здесь для произвольного m получены коэффициенты явных m-стадийных методов типа Рунге-Кутта с первого по третий порядок. Области устойчивости промежуточных численных формул согласованы с областью устойчивости основной схемы. Построены неравенства для контроля точности и устойчивости. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-01-00106).
1. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи // М.: Мир. 1999, 685 с.
2. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем // Новосибирск: Наука. 1997, 197 с.
Abstracts file: | Novikov_Abstract.doc |
Full text file: | novikov_Article.pdf |